Geodet (Linn)

Orthodrome: Kierzte Verbindung op enger Kugeluewerfläch, opgedroen iwwert dem orthogonalen flaache Gradnetz

Eng Geodet, geodetesch Linn oder geodetesche Wee, ass dee lokal kierzeste Verbindungsbou vun zwéi Punkten.

Lokal a global Definitioun

Am euklidesche Raum si Geodeten ëmmer riicht Linnen. Relevant ass de Begrëff „Geodet“ eréischt a gekrëmmte Raim, wéi zum Beispill op enger Kugeluewerfläch oder aner gekrëmmte Flächen oder och an der gekrëmmter Raumzäit vun der allgemenger Relativitéitstheorie. Et fënnt een déi geodetesch Linne mat Hëllef vun der Variatiounsrechnung.

D'Aschränkung lokal an der Definitioun bedeit, datt eng Geodet nëmmen dann déi kierzt Verbindung tëschent zwéi Punkte brauch ze sinn, wann dës Punkte no genuch beienee leien; si muss awer net de global kierzte Wee duerstellen. Déisäit vun der Schnëttplaz kënnen etlech Geodete vu verschiddener Längt zum selwechte Punkt féieren, wat déi global Minimiséierung vun der Längt verhënnert. Beispillsweis ass déi kierzt Verbindung tëschent zwéi Punkten op enger Kugel ëmmer een Deel vun engem Grousskrees, awer déi zwéin Deeler, an déi e Grousskrees duerch zwéi Punkten ënnerdeelt gëtt, sinn allebéid Geodeten, obwuel nëmmen een dervunner déi „global“ kierzt Verbindung duerstellt.

Beispiller fir Geodete vu verschidde Raim

• Am $\R^n$ si genee déi riicht Strecken déi Geodetesch.
• Eng Geodet op der Sphär ass ëmmer Deel vun engem Grousskrees; dorun orientéiere sech transkontinental Fluch- a Schëfffaartsrouten (kuckt Orthodrome). All geodetesch Linnen (resp. Grousskreesser) op enger Kugel sinn u sech zou – dat heescht wann een hinne follegt, erreecht een iergendwann nees den Ufankspunkt. Op Ellipsoid-Flächen dogéint gëllt dëst nëmme laanscht d'Meridianen an den Equator (déi op dem Ellipsoid einfach Spezialfäll vun der geodetescher Linn sinn).
• Am Eenzelfall vun ofwéckelbare Flächen (z. B. Kegel oder Zylinder) sinn d'Geodeten déijeneg Béi, déi bei der Ofwécklung um Plateau riicht Stécker ginn.

Klassesch Differentialgeometrie

Geodet (rout) an engem zweedimensionale gekrëmmte Raum, deen an engem dräidimensionale Raum agebett ass. (Modelléierung vun der Gravitatioun iwwer d'Geodet an der Relativitéitstheorie)

An der klassescher Differentialgeometrie ass eng Geodet e Wee $\gamma : I \to S$ op enger Fläch $S \subset \R^3$, bei deem iwwerall d'Haaptnormal mat der Flächennormal zesummefält. Dës Bedingung ass genee dann erfëllt, wann fir jiddwer Punkt déi geodetesch Krëmmung gläich 0 ass.

Riemannesch Geometrie

An der riemannescher Geometrie ass eng Geodet duerch eng gewéinlech Differentialequatioun charakteriséiert. Ee Bou $\gamma \colon I \to M$ heescht Geodet, wa si déi geodetesch Differentialequatioun

$\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0$

erfëllt. Dobäi bezeechent $\nabla$ de Levi-Civita-Zesummenhank. Dës Equatioun bedeit, datt d'Vitessevecteurfeld vum Bou säitlech vum Bou konstant ass. Dës Definitioun baséiert op der Iwwerleeung, datt d'Geodete vum $\R^n$ einfach déi riicht Linne sinn an hir zweet Ofleedung konstant null ass.

Ass $(U,x)$ eng Kaart vun der Diversitéit, sou kritt ee mat Hëllef vu Christoffelsymboler $\Gamma^m_{kl}$ déi lokal Duerstellung

$\ddot x^m+\Gamma^m_{kl}\dot x^k\dot x^l=0$

vun der geodetescher Differentialequatioun. Hei gëtt d'Einsteinesch Summekonventioun gebraucht. D' $x^m$ sinn d'Koordinatenfunktioune vum Bou $\gamma$: De Boupunkt $\gamma(t)$ huet d’Koordinaten $(x^1(t), \dots, x^n(t))$.

Aus der Theorie iwwer gewéinlech Differentialequatioune léisst sech beweisen, datt et eng eendeiteg Léisung vun der geodetescher Differentialequatioun mat den Ufanksbedingungen $\gamma(t_0) = p$ an $\dot \gamma(t_0) = V \in T_pM$ gëtt. A mat Hëllef vun der éischter Variatioun vun $\gamma$, léisst sech weisen, datt déi vergläichsweis vum riemanneschen Ofstand $d(.,.)$ kierzt Béi déi geodetesch Differentialequatioun erfëllen. Ëmgekéiert kann ee weisen, datt all Geodetesch op mannst lokal eng kierzest Verbindung ass. Dat heescht op enger Geodetescher gëtt et ee Punkt, ab déier déi Geodetesch net méi déi kierzest Verbindung ass. Ass déi zugrondleeënd Mannegfaltegkeet net kompakt sou kann de Punkt och onendlech sinn. Fixéiert een e Punkt a kuckt all Geodetescher mat Eenheetsvitesset, déi vun dësem Punkt ausginn, sou heet d’Verbindung vun alle Schnëttpunkte, d'Schnëttplaz. Eng Geodetesch mat Einheetsvitesse ass eng Geodetesch $\gamma$, fir déi $\|\dot \gamma\| = 1$ gëllt.

D'Geodetenequatioun

Mat Hëllef vun der Variatiounsrechnung léisst sech d'Geodetenequatioun opstellen. Ausgankspunkt ass dobäi d'Eegeschaft vun enger Geodet, lokal déi kierzt Verbindung vun zwéi Punkten. Am gekrëmmte Raum froe mer also no deemjeenege Bou, deem seng Boulängt $s$ bei gegiewenem Ufanks- an Endpunkt e Minimum unhëllt, also

$s=\int\limits_{P_A}^{P_E}\mathrm{d}s\ \stackrel{!}=\ \text{Extremum}$.

De Bou sief mat dem Parameter $\lambda$ parametriséiert an d'Linnenelement ass allgemeng ginn duerch $\mathrm{d}s^2=g_{ik}\mathrm{d}x^{i}\mathrm{d}x^{k}$. Dobäi kritt de Raum, deen de Bou besëtzt, duerch den metresche Tensor $g_{ik}$ eng Mooss fir Wénkel an Ofstänn. Soumat erhale mer aus ieweschten Usaz

$s=\int\limits_{\lambda_E}^{\lambda_A}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\lambda}\mathrm{d}\lambda=\int\limits_{\lambda_E}^{\lambda_A}\sqrt{g_{ik}\frac{\mathrm{d}x^{i}}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\mathrm{d}x^{k}}{\mathrm{d}\lambda}}\mathrm{d}\lambda=\text{Extremum}$.

Dës Equatioun gläicht an hirer Form dem Hamiltonprinzip mat enger Lagrangefunktioun.

$\mathcal{L}=\sqrt{g_{ik}\frac{\mathrm{d}x^{i}}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\mathrm{d}x^{k}}{\mathrm{d}\lambda}}=\sqrt{g_{ik}x'^{i}x'^{k}}=\sqrt{F},\quad\text{mit}\quad x'^{i}=\frac{\mathrm{d}x^{i}}{\mathrm{d}\lambda}$.

Si muss deemno d'Euler-Lagrange Equatioun erfëllen, also

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\partial\mathcal L}{\partial x'^{i}}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x^{i}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\left(\frac{1}{2\sqrt{F}}\frac{\partial F}{\partial x'^{i}}\right)-\frac{1}{2\sqrt{F}}\frac{\partial F}{\partial x^{i}}=0$

Literatur

• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian geometry. Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.