Geometrie

Vu Wikipedia
Wiesselen op: Navigatioun, sichen

D'Geometrie ass d'Wëssenschaft déi sech mat de Relatiounen tëscht Längten a Wénkelen am Plang oder am Raum bescheftëgt. Et ass ee vun den zwee pre-moderne mathematesche Gebidder nieft der Léier vun den Zuelen.

Hautdesdaags ass d'Geometrie e méi ëmfangräicht Gebitt ginn. Vill Konzepter an der moderner Mathematik kënnen abstrakt a geometresche Figuren duergestallt ginn, sou datt een heiansdo guer net méi erëmkennt, datt déi nei Geomterie vun de Relatiounen tëscht Längten a Wénkelen schwätzt.

Dréieck.png

Geometrësch Relatiounen am Plang[änneren | Quelltext änneren]

Gesetz vun de Cosinusen[änneren | Quelltext änneren]

och nach Relation de Pythagore généralisée genannt

\ c^2=a^2+b^2-2ab \cos \gamma

Gesetz vun de Sinusen[änneren | Quelltext änneren]

 \frac{\sin \gamma}{c}=\frac{\sin \beta}{b}=\frac{\sin \alpha}{a}

Gesetz vum Thales[änneren | Quelltext änneren]

Thales

\frac{OA}{OB}=\frac{AA'}{BB'}=\frac{OA'}{OB'}

Vektoriell Relatiounen[änneren | Quelltext änneren]

Produit Scalaire[änneren | Quelltext änneren]

\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}= \left \Vert \overrightarrow{A B} \right \| \left \Vert \overrightarrow{A C} \right \| \cos \alpha

Dréieck.png

An engem Cartesiansche Koordinatesystem wou d'Punkten A, B an C respektiv \left ( x_A, y_A \right ) , \left ( x_B, y_B \right ) an \left ( x_C, y_C \right ) als Koordinaten hunn, sinn d'Vecteuren \overrightarrow{A B} an \overrightarrow{A C} sou definéiert:
\overrightarrow{A B} = \begin{pmatrix}x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}\qquad \overrightarrow{A C} = \begin{pmatrix}x_C-x_A \\ y_C-y_A \end{pmatrix}
\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}= \left ( x_B-x_A \right ) \left ( x_C-x_A \right ) + \left ( y_B-y_A \right ) \left ( y_C-y_A \right )

Dës Formele sinn einfach an de Raum ëmzeschreiwen: et brauch ee just eng Koordinat beizefügen wat dann erméiglegt, aus dem Plang erauszekommen. Am Raum sinn d'Punkten an d'Vecteuren also duerch dräi Zuelen (hir Koordinaten) definéiert. Dëst féiert eis dann zum Produit Scalaire am Raum:
\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}= \left ( x_B-x_A \right ) \left ( x_C-x_A \right ) + \left ( y_B-y_A \right ) \left ( y_C-y_A \right ) + \left ( z_B-z_A \right ) \left ( z_C-z_A \right )

Produit Vectoriel[änneren | Quelltext änneren]

\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}= \left \Vert \overrightarrow{a} \right \| \left \Vert \overrightarrow{b} \right \| \sin \theta \cdot \overrightarrow{n}

Crossproduct.png

Op dësem Bild kann een gesinn datt een aus dem Plang erauskënnt an sech am Raum beweegt. Dofir ass och dee Vecteur \overrightarrow {n} do deen gläichzäitëg e rietsen Wénkel mam Vecteur \overrightarrow {a} a mam Vecteur \overrightarrow {b}
Sief d'Vecteuren \overrightarrow {a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow {b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}, dann ass \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ -a_1b_3+a_3b_1 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}

Rotatiounen[änneren | Quelltext änneren]

D'Rotatiounsmatricen am Raum gesinn sou aus:

  • Rotatioun ëm d' x-Achse

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & - \sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}

  • Rotatioun ëm d'y-Achse

\begin{pmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix}

  • Rotatioun ëm d'z-Achse

\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\  \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Um Spaweck[änneren | Quelltext änneren]

Commons: Geometrie – Biller, Videoen oder Audiodateien