Geometrie

D'Geometrie ass d'Wëssenschaft déi sech mat de Relatiounen tëscht Längten a Wénkelen am Plang oder am Raum bescheftëgt. Et ass ee vun den zwee pre-moderne mathematesche Gebidder nieft der Léier vun den Zuelen.

Hautdesdaags ass d'Geometrie e vill méi ëmfangräicht Gebitt ginn. Vill Konzepter an der moderner Mathematik kënnen abstrakt a geometresche Figuren duergestallt ginn, sou datt een heiansdo guer net méi erëmkennt, datt déi nei Geomterie vun de Relatiounen tëscht Längten a Wénkelen schwätzt.

Geometrësch Relatiounen am Plang

Gesetz vun de Cosinusen

och nach Relation de Pythagore généralisée genannt

$\ c^2=a^2+b^2-2ab \cos \gamma$

Gesetz vun de Sinusen

$\frac{\sin \gamma}{c}=\frac{\sin \beta}{b}=\frac{\sin \alpha}{a}$

Gesetz vum Thales

$\frac{OA}{OB}=\frac{AA'}{BB'}=\frac{OA'}{OB'}$

Vektoriell Relatiounen

Produit Scalaire

$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}= \left \Vert \overrightarrow{A B} \right \| \left \Vert \overrightarrow{A C} \right \| \cos \alpha$

An engem Cartesiansche Koordinatesystem wou d'Punkten A, B an C respektiv $\left ( x_A, y_A \right )$, $\left ( x_B, y_B \right )$ an $\left ( x_C, y_C \right )$ als Koordinaten hunn, sinn d'Vecteuren $\overrightarrow{A B}$ an $\overrightarrow{A C}$ esou definéiert:
$\overrightarrow{A B} = \begin{pmatrix}x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}\qquad \overrightarrow{A C} = \begin{pmatrix}x_C-x_A \\ y_C-y_A \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}= \left ( x_B-x_A \right ) \left ( x_C-x_A \right ) + \left ( y_B-y_A \right ) \left ( y_C-y_A \right )$

Dës Formele sinn einfach an de Raum ëmzeschreiwen: et brauch ee just eng Koordinat beizefügen wat dann erméiglegt, aus dem Plang erauszekommen. Am Raum sinn d'Punkten an d'Vecteuren also duerch dräi Zuelen (hir Koordinaten) definéiert. Dëst féiert eis dann zum Produit Scalaire am Raum:
$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}= \left ( x_B-x_A \right ) \left ( x_C-x_A \right ) + \left ( y_B-y_A \right ) \left ( y_C-y_A \right ) + \left ( z_B-z_A \right ) \left ( z_C-z_A \right )$

Produit Vectoriel

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}= \left \Vert \overrightarrow{a} \right \| \left \Vert \overrightarrow{b} \right \| \sin \theta \cdot \overrightarrow{n}$

Op dësem Bild kann een gesinn datt een aus dem Plang erauskënnt an sech am Raum beweegt. Dofir ass och dee Vecteur $\overrightarrow {n}$ do deen gläichzäitëg e rietsen Wénkel mam Vecteur $\overrightarrow {a}$ a mam Vecteur $\overrightarrow {b}$
Sief d'Vecteuren $\overrightarrow {a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow {b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$, dann ass $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ -a_1b_3+a_3b_1 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}$

Rotatiounen

D'Rotatiounsmatricen am Raum gesinn esou aus:

• Rotatioun ëm d' x-Achse

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & - \sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

• Rotatioun ëm d'y-Achse

$\begin{pmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix}$

• Rotatioun ëm d'z-Achse

$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Um Spaweck

Commons: Geometrie – Biller, Videoen oder Audiodateien

• Rotation matrices at Mathworld