Keplerbunn

Keplerbunne sinn d'Léisunge vum Keplerproblem, wéi sech e klengen Himmelskierper ëm ee gréissere beweegt. D'Léisunge sinn d'Kegelschnëtt Krees, Ellips, Parabel an Hyperbel, déi sech an hirer ganzer Energie ënnerscheeden. D'Keplerellips mat der Bunnachs als Parameter, déi d'Kreesbunn als Spezialfall enthält, beschreift periodesch Ëmlafbunne, beispillsweis Sonn-Äerd, Äerd-Mound.

Ideal Keplerbunn

Véier vu sechs Bunnelementer vu Planéiten. D'Richtung vum Bunnknuet (Ω) gëtt vum Fréijoerspunkt gezielt.

Am Idealfall, datt keng weider Kierper existéieren (Zwéikierperproblem), erfollegt déi géigesäiteg Beweegung no den dräi Gesetzer vum Kepler.

An Polarkoordinate $(r,\phi)$ mat Urspronk am Zentralstär léisst sech déi geometresch Form vun de Keplerbunne duerch déi folgend Formel beschreiwen:

$r (\varphi) = {p \over { 1 + \varepsilon \cdot \cos \varphi}}, ~ \varphi \in I$

Dobäi bezeechent $r$ den Ofstand vum ëmlafenden Himmelskierper vum Zentralstär, $\phi$ de Wénkel tëschent de Verbindungslinne Zentralstär–Periapsis an Zentralstär–Himmelskierper (Richteg Anomalie). Déi zwou Konstante $\epsilon$ (d'numeresch Exzentrizitéit) an $p$ (der Hallefparameter) beschreiwen d'Form vun der Keplerbnn. Fir $\epsilon = 0$ handelt et sech ëm eng Kreesbunn, fir $0 < \epsilon < 1$ ëm eng Ellips, fir $\epsilon = 1$ ëm eng Parabel a fir $\epsilon > 1$ ëm eng Hyperbel. Den Intervall I an deem de Wénkel $\phi$ variéiert, hänkt vum Bunn-Typ an, am Fall vun der Hyperbel, vun der Exzentrizitéit $\epsilon$ of: $I = \R$ fir Kreesbunne an Ellipse, $I = (-\pi, \pi)$ fir Parabelen, $I = (-\arccos \tfrac{1}{\varepsilon},\arccos \tfrac{1}{\varepsilon})$ fir Hyperbelen.

Keplerbunnen loossen sech exakt duerch sechs sougenannt Bunnelemente beschreiwen.

Parabelbunnen an Hyperbelbunnen sinn ongebonne Zoustänn, déi bei munche Koméite virleien. Bei dëse Bunnen gëtt et nëmmen een eenzege Rendez-vous, de Koméit verschwënnt duerno aus dem Sonnesystem.

Vitesse

Opgrond vun der Energieerhalung ass d'Bunnvitesse ausser am Fall vum Krees net konstant, mä hëllt zou, wann den Ofstand tëschent de Kierper méi kleng gëtt. D'Streck laanscht d’Keplerbunn, déi fir den direkte Wee-Zäit-Zesummenhank vun der Vitesse gebraucht gëtt, huet nëmmen a Spezialfäll eng analytesch Léisung. Duerch Betruechten vu kinetescher an potentieller Energie geléngt d'Hierleedung vu Vis-Viva-Gläichung.

Si stellt en Zesummenhank tëschent der Mass $M$ vum Zentralkierper, der Gravitatiounskonstant $G$, der grousser Hallefachs der Ëmlafellips, der Distanz $r$ dem ëmlafende Kierper an der Vitesse $v$ vun dësem Kierpers hier:

$v=\sqrt { GM\left({{2 \over{r}} - {1 \over{a}}}\right) }$

Fir d'Haaptscheetel vun der Ellips gëtt et awer och analytesch Léisunge, déi sech alleng mat Hëllef vun der Ellipsgeometrie berechne loossen, an ouni d'Gravitatiounsparameter auskommen:

Wénkelvitesse am Perizentrum: $\omega_\mathrm{p} = \omega_\mathrm{m} \sqrt { a^2 (a + e) / (a - e) ^3 }$

Wénkelvitesse am Apozentrum: $\omega_\mathrm{a} = \omega_\mathrm{m} \sqrt { a^2 (a - e) / (a + e) ^3 }$

• ω_m: mëttel Wénkelvitesse, $\omega_\mathrm{m} = 2 \pi / T$
• T: Ëmlafdauer
• a: grouss Hallefachs
• e: linear Exzentrizitéit

Well sech de Radiusvektor an de Scheetelen differentiell kaum ännert, gëllt:

Perizentrumsvitesse: $v_\mathrm{r} = \omega_\mathrm{p} (a - e) = \frac {2 \pi }{ T } a \sqrt { \frac {a + e}{a - e} }$

Apozentrumsvitesse: $v_\mathrm{r} = \omega_\mathrm{a} (a + e) = \frac {2 \pi }{ T } a \sqrt { \frac {a - e}{a + e} }$

Stéierend Kraaft

Duerch onregelméisseg oder weidere Himmelskierper ass d'Schwéierfeld awer net kugelsymmetresch, woduerch Bunnstéierunge entstinn. Och kleng Bremseffete duerch Gase oder Meteoroide, duerch Stralungsdrock a geméiss der Relativitéitstheorie droen zu hinne bäi. Doduerch änneren sech lues d'Zuelewäerter vun de sechs Bunnelemente.

Et kann een dës zäitofhängeg oder periodesch Effete duerch d'Method „Variatioun vun den Elementer“ berechnen, woubäi all momentan („oskuléierend“) Keplerellips stänneg an déi nächst iwwergeet. D'Bunnstéierunge kënnen laangzäitlech (ëmmer a gläicher Richtung) oder periodesch sinn. An der Géigend vun irregulär geformte Himmelskierper oder beim Fluch duerch Materiewolleke trieden och onreegelméisseg Effete op.

D'Bunnachse (a) vun den aacht Planéite aus eisem Sonnesystem bleiwen praktesch konstant, well hir Mass grouss an d’Bunnen kreesähnlech sinn. Asteroide an Koméite kënnen awer gravéierend Ännerunge kréien, wann si engem Planéit méi no kommen. Bei niddrege kënschtleche Äerdsatellite sinn d’Bunnstéierunge e puer zéngtel Grad pro Stonn resp. epuer Kilometer a loossen op déi genee Form vum Geoid schléissen.

Streng geholl zielen exakt Keplerbunnen nëmmen fir kugelfërmeg Kierper, dës Bedéngung ass bei gréissere Distanzen an der Astronomie genuch erfëllt. Och fir Moundbunne ëm staark ofgeplatte Planéite (z. B. Jupitermounde) kann ee mat Kepler Formele rechnen, wann dat drëtte Keplergesetz ëm e klenge Faktor ergänzt gëtt. De facto leeft dës (zousätzlech zu der Bunnachs a) op e siewent Bunnelement fir d'Ëmlafzäit eraus.

Kuckt och

Portal Astronomie

• Bunnbestëmmung
• Gravitatiounsgesetz
• Kepler-Gläichung
• Satellitebunnelement
• Stéierungstheorie (Klassesch Physik)