Théorème vum Euklid

Den Théorème vum Euklid ass e Resultat aus der elementarer Zuelentheorie, dat seet, datt et onendlech vill Primzuele ginn.

Am Laf vun der Geschicht sinn eng ganz Parti verschidde Beweiser fir déi Ausso fonnt ginn. Deen eelste Beweis ass als 20. Propositioun am néngte Buch vun den Elemente vum Euklid vun Alexandria iwwerliwwert. Weider Beweiser goufe vu Leit wéi dem Christian Goldbach, dem Leonhard Euler, a.s.w. fonnt. Dem Euklid säi Beweis funktionéiert esou:

Wa mer unhuelen, datt et nëmmen endlech vill Primzuelen ginn, a mer nenne se $p_1,p_2,\ldots,p_n$, da kënne mer déi natierlech Zuel $n=p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_n+1$ definéieren. No dem Lemma vum Euklid gëtt et eng Primzuel $q$, déi $n$ deelt. Da ka $q$ awer net zu de Primzuele $p_1,p_2,\ldots,p_n$ gehéieren, well soss $q$ gläichzäiteg en Deeler vun $n$ (no Konstruktioun vun $n$) an $n-1$ (no der Definitioun vum Deeler) wier. Also misst $q$ och d'Differenz vun deenen zwou Zuelen deelen, ma déi ass $n-(n-1)=1$ an dat ass onméiglech. Aus dësem Widdersproch geet ervir, datt een nimools an engem endlechen Ensemble alleguerten d'Primzuele kann zesummefaassen, an et der demno onendlech vill muss ginn.