Fräiheetsgrad

Vu Wikipedia
Wiesselen op: Navigatioun, sichen
Stub W.svg Dësen Artikel ass eréischt just eng Skizz. Wann Dir méi iwwer dëst Thema wësst, sidd Dir häerzlech invitéiert, aus dëse puer Sätz e richtegen Artikel ze schreiwen. Wann Dir Hëllef braucht beim Schreiwen, da luusst bis an d'FAQ eran.

Mat Fräiheetsgrad gëtt d'Zuel vun de fräi wielbaren, vuneneen onofhängege Bewegungsméiglechkeete vun engem System bezeechent. En onbeweegleche Kierper am Raum huet deemno de Fräiheetsgrad f=6, well et kann een de Kierper an dräi vuneneen onofhängege Richtunge bewegen an an dräi vuneneen onofhängege Plangen dréien. An dëser Bedeitung als Ganzzuel vun den onofhängege Bewegungsméiglechkeeten kënnt de Begrëff Fräiheetsgrad nëmmen am Singular vir.[1] Déi eenzel Bewegungsméiglechkeete ginn dann och Fräiheete genannt. An der Literatur an am allgemenge Sproochgebrauch gëtt awer och jiddwereng vun den onofhängege Bewegungsméiglechkeete vun engem System als e Fräiheetsgrad bezeechent.[2] En onbeweegleche Kierper ouni Uschloss huet sechs Fräiheetsgraden.

Mechanik[änneren | Quelltext änneren]

All Fräiheetsgrad vun engem physikalesche System entsprécht enger onofhängeger (verallgemengerter Koordinat), mat där d'System beschriwwe ka ginn. Wat mat dem Wuert "onofhängeg" gemengt ass, gesäit een un engem Beispill: Ugeholl en Deelchen ka sech nëmme laanscht eng riicht Linn um Plang (z. B. op engem Dësch) bewegen,. Wann een als onofhängeg Koordinaten de Wee op der Linn unhëlt da kënnen d'x-Koordinaten an d'y-Koordinaten berechent ginn.

D'Zuel vun de verallgemengerte Koordinaten ass eng Systemeegeschaft. Beispillsweis huet e fräie Massepunkt dräi Translatiounsfräiheetsgraden. En onbeweegleche Kierper dogéint huet nieft den dräi Translatiouns- nach dräi Rotatiounsfräiheetsgraden, déi lescht ginn duerch säin Dréiwénkel beschriwwen.

Gelenker[änneren | Quelltext änneren]

Um Gelenk vun engem Mechanisem sinn zwéi Deeler mateneen beweeglech verbonnen. De Fräiheetsgrad f ass d'Zuel vun de méigleche Bewegungen, déi d'Gelenk ausféiere kann. Dobäi stinn d'Fräiheeten vum onbeweegleche Kierper zur Dispositioun. Bannen an engem Gelenk gëtt op d'mannst eng Fräiheet ënnerbonnen, maximal fënnef Fräiheeten sti fir en technesche Gebrauch zur Dispositioun. Méi wéi dräi Fräiheete gi mat Méifachgelenker erreecht.

Verschidden Aarte vu Gelenker mat verschiddener Zuel vu Fräiheetsgrade.
  • Figur 2: Dréigelenk f=1
  • Figur 3: Schraufgelenk f=1
  • Figur 5: Dréischubgelenk, Plackegelenk f=3
  • Figur 6: Dréischubgelenk f=2
  • Figur 7: Kugelgelenk f=3

D'Zuel vun de Fräiheete vun engem System, dat aus villen Deelsystemer geformt gëtt, ass d'Zomm vu Fräiheete vun den Deelsystemer, souwäit dës net duerch Zwangsbedéngunge (z. B. Gefierkupplung: Den Unhänger ka sech net onofhängeg vum Zuchgefier bewegen) ageschränkt gëtt.

  • e Fräiheesgrad >0 beschreift een an sech beweeglecht System (Mechanisem).
  • e Fräiheetsgrad =0 beschreift e statesch bestëmmten System.
  • e Fräiheetsgrad <0 steet fir e statesch iwwerbestëmmte System, an deem staark bannenzeg Spannungen optriede kënnen („klemmt“).

Thermodynamik[änneren | Quelltext änneren]

D'Zuel vun de Fräiheeitsgrade vun engem System spillt och an der Thermodynamik eng Roll, well sech d'Energie gläichméisseg op déi eenzel Fräiheetsgrade verdeelt. D'Zuel vun de Fräiheetsgrade geet dofir och an d'Entropie an, déi jo zum Schluss eng Mooss fir d'Zuel vun den erreechbaren Zoustänm ass. Thermodynamesch Systemer hunn generell ganz vill Fräiheetsgrade, ongeféier an der Gréisst vun 1023. Et kënnen allerdéngs vill gläicharteg Systemer mat jee nëmme wéinege Fräiheetsgraden zousta kommen, zum Beispill 1023 Atomer mat effektiv (kuckt ënnen, jee dräi Fräiheetsgraden).

Et kann een déi bannenzeg Energie vun engem ideale Gas an Ofhängegkeet vun der Temperatur T an der Zuel vun de Fräiheetsgrade f vun engem Gasdeelchen uginn. Am Normalfall vun engem eenatomegen ideale Gas mat N Deelchen ergëtt sech mat der Boltzmann-Konstant k

U=\frac{3}{2}NkT.

Allgemeng gëllt:

U=\frac{f}{2}NkT.

Heibäi ass wichtig, datt zu der Bestëmmung vun f bannenzeg Fräiheitsgrade duebel gezielt ginn, well d'Schwingunge souwuel kinetesch wéi och potentiell Energie hunn (kuckt ënnen).

Opgrond vun den diskreten Energieniveauen vun der Quantemechanik kënnen bei niddregen Energien meeschten net all Fräiheetsgrade ugereegt ginn, well den éischten ugereegte Zoustand schonn eng ze héich Energie huet. Doduerch kann e System bei enger gegiewener Energie effektiv weniger Freiheitsgrade haben. Zum Beispiel huet een Atom bei Raumtemperatur effektiv nëmmen déi dräi Translatiounsfräiheetsgrade, well déi mëttel Energie sou niddreg ass, datt atomar Ureegungen praktesch net virkommen.

En zweeatomegt Moleküll wéi molekulare Waasserstoff huet – nieft den elektroneschen Ureegungen – sechs Fräiheetsgrade: Dräi vun der Translatioun, zwéi vun der Rotatioun, an e Schwéngungsfräiheetsgrad (deen allerdéngs bei der Berechnung vun der bannenzegter Energie duebelt zielt). Rotatioun a Schwéngung sinn quantiséiert a bei klenger Gesamtenergie vun engem Moleküll kënnen energetesch méi héich leiende Rotatiouns- a Schwéngungsfräiheetsgrade net ugereegt ginn; e seet een, si wären "agefruer." Sou verhalen sech déi meescht zweeatomeg Gase wéi zum Beispill Waasserstoff, Sauerstoff oder Stéckstoff ënner Normalbedéngungen effektiv sou, als hätten d'Eenzelmolekülle nëmme fënnef Fräiheetsgrade, wat sech am Adiabatenexponenten ofliese léisst. Bei héijen Temperaturen sinn dem System all Fräiheetsgrade zougänglech.

Komplex Molekülle hu vill Fräiheetsgrade

Méi komplex Molekülle hu méi Schwéngungsfräiheetsgrade, a liwweren soumat méi e grousse Bäitrag zu der Entropie.

Jiddwer Moleküll mat n Atomer huet 3n Fräiheetsgraden, well ee fir jiddwer Atom dräi Koordinate brauch fir seng Positioun ze definéieren. Déi kann ee formal an Translatiouns-, Rotatiouns- a bannenzeg Schwéngungsfräiheetsgraden andeelen.

Heibäi gëllt

  • fir n-atomeg linear Moleküllen:
3 Translatiounsfräiheetsgraden,
2 Rotatiounsfräiheetsgraden,
3n-5 Schwéngungsfräiheetsgraden (déi bei der Berechnung vun der bannenzeger Energie duebel zielen),
  • fir n-atomeg net linear Moleküllen:
3 Translatiounsfräiheetsgraden,
3 Rotatiounsfräiheetsgraden,
3n-6 Schwéngungsfräiheetsgraden (déi bei der Berechnung vun der bannenzeger Energie duebel zielen).

E Moleküll mat A Atomer huet fir déi bannenzeg Schwéngungsenergie allgemeng

f_\mathrm{vib} = 3A - f_\mathrm{trans} - f_\mathrm{rot}

Schwéngungsfräiheetsgrade.

Stoff Fräiheitsgrade
Translatioun Rotatioun Schwéngung (duebel ze zielen) Zomm
Gasmoleküll, 1-atomeg +3 +0 2×(3×1−3−0)=+0 3
Gasmoleküll, 2-atomeg +3 +2 2×(3×2−3−2)=+2 7
Gasmoleküll, 3-atomeg linear +3 +2 2×(3×3−3−2)=+8 13
Gasmoleküll, 3-atomeg gewénkelt +3 +3 2×(3×3−3−3)=+6 12
1 Atom am Festkierper +0 +0 2×(3×1−0−0)=+6 6

Déi thermodynamesch Fräiheetsgrade vun der Zoustandgréissten op makroskopeschem Niveau erginn sech fir Systemer am Gläichgewiicht iwwer d'Gibbssche Phaseregel.

Kuckt ouch[änneren | Quelltext änneren]

Um Spaweck[änneren | Quelltext änneren]

Referenzen[änneren | Quelltext änneren]

  1. Wolfgang H. Müller, Ferdinand Ferber: Technische Mechanik für Ingenieure: Geeignet für die Bachelor-ausbildung
  2. Eberhard Brommundt, Gottfried Sachs, Delf Sachau: Technische Mechanik: Eine Einführung