Størmer-Zuel

Eng Størmer-Zuel, och als Arkuskotangens-irreduzibel Zuel (englisch arc-cotangent irreducible number) bezeechent, ass eng natierlech Zuel $n$, fir déi de gréisste Primfaktor vun $n^{2}+1$ méi grouss oder gläich $2n$ ass. Den Numm kënnt vum norwegesche Geophysiker a Mathematiker Carl Størmer.

Definitioun

Eng natierlech Zuel $n$ heescht Størmer-Zuel, wann et eng Primzuel $p$ gëtt mat $p\geq 2n$ a $p|(n^{2}+1)$, woubäi | fir d'Deelbarkeetsrelation steet.

Beispill

n=33 ass eng Størmer-Zuel. De gréisste Primfaktor vun $n^{2}+1=33^{2}+1=1090=2\cdot 5\cdot 109$ ass $1090$, an deen ass méi grouss wéi $2n=2\cdot 33=66$.

Størmer-Zuelen

Follgend Zuele si Størmer-Zuelen:

1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71, 74, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 94, 95, 96, …

Den John Todd huet bewisen, datt déi Suite weeder endlech nach koendlech ass.

Optrieden

Størmer-Zuelen triede beim ënnersiche vu Wäerter vun der Arkuskotangens-Funktioun a ganzzuelegen Stellen op. Sou e Wäert nennt een $\operatorname {arccot} n$ (och Gregory-Zuel genannt) reduzibel, wann en als ganzzueleg Linearkombination

$\operatorname {arccot} n=\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}\cdot \operatorname {arccot} k,\quad a_{k}\in \mathbb {Z}$

sou Wäerter op méi kleng Stelle geschriwwe ka ginn, wéi zum Beispill

${\begin{array}{ll}\operatorname {arccot} 3&=\operatorname {arccot} 1-\operatorname {arccot} 2,\\\operatorname {arccot} 7&=\operatorname {arccot} 1-2\cdot \operatorname {arccot} 2,\\\operatorname {arccot} 8&=\operatorname {arccot} 3-\operatorname {arccot} 5,\\\operatorname {arccot} 57&=-2\cdot \operatorname {arccot} 1+3\cdot \operatorname {arccot} 2+\operatorname {arccot} 5,\\\operatorname {arccot} 239&=-\operatorname {arccot} 1+4\cdot \operatorname {arccot} 5,\\\operatorname {arccot} 682&=-2\cdot \operatorname {arccot} 1+3\cdot \operatorname {arccot} 2+2\cdot \operatorname {arccot} 11,\\\operatorname {arccot} 12943&=3\cdot \operatorname {arccot} 1-4\cdot \operatorname {arccot} 2-3\cdot \operatorname {arccot} 5+\operatorname {arccot} 11.\\\end{array}}$

Et stellt sech eraus, datt $\operatorname {arccot} n$ genee dann irreduzibel, also net sou eng Linearkombination ass, wann $n$ eng Størmer-Zuel ass. Déi gewisen Aart vun der Zerleeung erkläert déi uganks genannt alternativ Bezeechnung „Arkuskotangens-irreduzibel Zuel“.

Um Spaweck

• (en) Størmer number (MathWorld)