Lëscht vu mathematesche Funktiounen

Wann ee vu Funktioune schwätzt muss ee fir d'alleréischt festsetze watfir en Domaine den Ufanksdomaine (oder -ensembel) ass a watfir een den Domaine (Ensembel) ass an deem d'Funktioun ukënnt (End-Domaine oder End-Ensembel). Zum Beispill däerf een net duerch Null deelen. Wann een also dës Funktioun huet: ${\frac {1}{x}}$ dann ass den Ufanksdomaine den Ensembel vun allen Zuelen ausser Null, also: $\mathbb {R} -\left\{0\right\}$ oder $\left\rbrack -\infty ,0\right\lbrack \cup \left\rbrack 0,+\infty \right\lbrack$. Eng Funktioun kann awer och net all Zuel erreechen. Dofir schwätzt ee vun engem End-Domaine (oder End-Ensembel).
Sou ass de Sinus an de Cosinus vun egal watfir enger Zuel ëmmer tëscht 1 an -1:

$\forall x\in \mathbb {R} ,{\begin{cases}\sin(x)\\\cos(x)\end{cases}}\in \left[-1,1\right]$

Trigonometresch Funktiounen

• Sinus

${\begin{matrix}f:\mathbb {R} \ \rightarrow \ \left[-1,1\right]\\\qquad x\ \mapsto \sin(x)\end{matrix}}$

• Cosinus

${\begin{matrix}f:\mathbb {R} \ \rightarrow \ \left[-1,1\right]\\\qquad x\ \mapsto \cos(x)\end{matrix}}$

• Tangente

${\begin{matrix}f:\mathbb {R} \ \rightarrow \ \mathbb {R} \\\qquad x\ \mapsto \tan(x)\end{matrix}}$

• Cotangente

${\begin{matrix}f:\mathbb {R} \ \rightarrow \ \mathbb {R} \\\qquad x\ \mapsto \operatorname {cotan} (x)\end{matrix}}$

Fir eng Definitioun vun dëse Funktioune kuckt wann ech gelifft um Formelblat:Mathe.

Kombinatoresch Funktiounen

Dës sinn alles Funktiounen déi gréisstendeels an der Probabilitéit an an der Statistik benotzt ginn.

• Factorielle

${\begin{matrix}f:\mathbb {R} \ \rightarrow \ \mathbb {R} \\\qquad x\ \mapsto x!\end{matrix}}$

D'Factorielle vun x multiplizéiert all Zuele mateneen, déi méi kleng oder gläich x sinn, also: $x!=\prod _{i=1}^{x}i$ oder anescht geschriwwen: $\ x!=1\times 2\times 3\times \cdots \times (x-1)\times x$.
Et gëtt nach zwou aner wichteg kombinatoresch Funktiounen:

• D'Arrangementer

$A_{n}^{k}={\begin{cases}{\frac {n!}{(n-k)!}},\ {\text{wann}}\ k\leq n\\0,\ {\text{wann}}\ k>n\end{cases}}$.
D'Arrangementer zielen d'Méiglechkeete fir aus enger Urn mat n numeréierte Bullen der k ze zéien, woubéi awer och d'Reiefolleg an där een d'Bullen zitt, wichteg ass. Sou zum Beispill wann een d'Bull mat der Nummer 2 an dann déi mat der Nummer 3 zitt, ass dat net dat selwecht, wéi wann ee fir t'eischt 3 an dann 2 zitt.

• D'Kombinatiounen

$C_{n}^{k}={\begin{cases}{\frac {n!}{(n-k)!\times k!}},\ {\text{wann}}\ k\leq n\\0,\ {\text{wann}}\ k>n\end{cases}}$. Et ass dat selwecht wéi d'Arrangementer just datt wann een hei d'Méiglechkeete vun der Zéiung zielt, een net op d'Reiefolleg oppasst. Also zielt ee beim Beispill vu virdrun net zwou mä nëmmen eng Méiglechkeet. Mat dëser Funtioun kann ee sech seng Chancen ausrechnen, beim Loto ze wannen. Hei ass et jo egal an waatfirenger Reiefolleg d'Bullen aus der Urn gefall kommen. Et muss ee jo 6 Zuele vun 49 ukräizen. D'Chance, 6 richteger ze hunn,steet also 1 zu $\ C_{49}^{6}$. An dat ass 1 zu 13 983 816. D'Méiglechkeet 6 richteger ze hunn ass also guer net grouss, leider....

Analytesch Funktiounen

• Polynomial Funktiounen

Eng polynomial Funktioun schreift sech, wéi den Numm et seet, als Polynom un, also an der Form: $\sum _{k=0}^{N}a_{k}x^{k}=P(x)$. Et huet een:
${\begin{matrix}f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \\\qquad x\ \mapsto P(x)\end{matrix}}$

Zum Beispill huele mer de Polynom $x^{3}-2\times x^{2}-3\times x+2$. Dëse Polynom ass vum drëtte Grad (well säin héchsten Exposant 3 ass) an e gesäit sou aus:

D'polynomial Funktioune gehéieren zu deenen einfachste Funktiounen an der Analys, well se einfach ze derivéieren an z'integréiere sinn.

• Exponentielle

${\begin{matrix}f:\mathbb {R} \rightarrow \left]0,+\infty \right[\\\qquad x\ \mapsto e^{x}\end{matrix}}$

D'Exponentiell gëtt mathematesch definéiert als: $e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}$
D'Exponentiell gesäit sou aus:

Et ass ze bemierken datt d'Exponentielle extreem séier grouss gëtt: fir negativ Zuelen ass dës Funktioun quasi gläich null mä et huet ee schonn $\ e^{0}=1$ dann direkt $\ e^{1}\approx 2.7$ an $\ e^{2}\approx 7.4$. Et ass d'Funktioun an der Mathematik déi am séierste klëmmt.

• Logarithmus

${\begin{matrix}f:\left]0,+\infty \right[\rightarrow \mathbb {R} \\\qquad x\ \mapsto \ln(x)\end{matrix}}$

Et ass hei déi emgedréint Funktioun vun der Exponentielle. Se geet och méi gemächlech erop wéi d'Exponentielle. Dat kënnt der selwer unhand vun dëser graphescher Duerstellung gesinn.

Et kann een dräi Duerstellungen op déi selwecht Graphik setze fir genee ze gesinn, wéi séier oder lues d'Funktiounen eng zu der anerer klammen: