Lemma vum Euklid

Vu Wikipedia
Wiesselen op: Navigatioun, sichen

De Lemma vum Euklid ass e Resultat aus der Zuelentheorie. E seet, datt all natierlech Zuel n>1 vun enger Primzuel gedeelt gëtt.

Beweis[änneren | Quelltext änneren]

De Beweis gëtt mam Prinzip gefouert, datt en Ensemble vun natierlechen Zuelen, deen net eidel ass, ëmmer e klengstent Element enthält. Elo ass eng natierlech Zuel n>1 entweder eng Primzuel (d. h. mer si fäerdeg mam Beweis, well n jo säin eegenen Deeler ass), oder se ass zesummegesat, d. h. et gtt eng natierlech Zuel 1<m<n, déi n deelt. Faasse mer alleguerten déi natierlech Zuelen zesummen, déi dës lescht Bedingung erfëllen, dann kreie mer den net eidelen Ensemble

D:=\{m\in\mathbb{N}: 1<m<n, m|n\}.

Dësen huet also e kléngstent Element, d. h. et gëtt eng natierlech Zuel k\in D, déi méi kleng wéi all déi aner Elementer vun D ass. Da muss k eng Primzuel sinn, well wa k zesummegesat wier, da géif jo nees eng natierlech Zuel 1<l<k existéieren, déi k deelt, an opgrond vun der Transitivitéit vun der Deelbarkeet (cf. Deeler) misst l och n deelen, also en Element vun D sinn. Dat steet awer am Widdersproch dozou, dat k dat klengst Element vun D ass. Dat beweist de Lemma.