Haaptsaz vun der elementarer Zuelentheorie

Vu Wikipedia
Wiesselen op: Navigatioun, sichen

Den Haaptsaz vun der (elementarer) Zuelentheorie seet, datt all natierlech Zuel n > 1 ëmmer op eng eendäiteg Weis als Produkt vu Primzuele ka geschriwwe ginn. Dëst Produkt gëtt och nach Primzuelzerleeung vun n genannt.

De Beweis vum Haaptsaz gëtt meeschtens mat vollstänneger Induktioun gefouert an ass dobäi eng Konsequenz aus dem sou genannten Lemma vum Euklid. Dat beseet, datt all natierlech Zuel, déi méi grouss wéi 1 ass, vun enger Primzuel gedeelt gëtt. Den Detail vum Beweis:

D'Zuel n=2 ass eng Primzuel an deemno seng eegen eendäiteg Primzuelzerleeung. Et sief also n\geq 2 eng natierlech Zuel sou, datt fir all natierlech Zuel m\leq n eng eendäiteg Primzuelzerleeung existéiert. Dann ennersiche mer d'Zuel n+1. Et gëtt genee zwou Méiglechkeeten: Entweder n+1 ass nees eng Primzuel an domat seng eegen eendäiteg Primzuelzerleeung, oder et ass eng zesummegesaten Zuel an et gëtt nom Euklid deemno eng Primzuel p\leq n, déi n+1 deelt. Dann ass awer de Quotient r=\frac{n+1}{p}\leq n eng vun deenen natierlechen Zuelen, fir déi mir schonn wëssen, datt se eng eendäiteg Primzuelzerleeung hunn. Domat ass awer och d'Produkt rp=n+1 eendäiteg mat Hëllef vu Primzuelen ausdréckbar.