Metresche Raum

Vu Wikipedia

An der Mathematik ass e metresche Raum en Ensembel, op deem eng Distanzfunktioun mat gewëssenen Eegenschaften definéiert ass. Dës Distanzfunktioun nennt ee Metrik. Metresch Raim si Beispiller vun topologesche Raim an erlaben et Konzepter wéi Konvergenz ze definéieren.

Dat einfachste Beispill vun engem metresche Raum ass den dräidimensionalen Euklidesche Raum . D'Distanz tëscht zwee Punkten ass déi üblech Euklidesch Distanz.

Definitioun[änneren | Quelltext änneren]

E metresche Raum ass eng Koppel vun engem Ensembel an enger Funktioun , déi follgend Axiomer erfëllt:

  • Fir all gëllt:
          an genee dann, wann .
(positiv definit)
  • Fir all gëllt:
          .
(symmetresch)
  • Fir all hu mer d'Inegalitéit:
          .
(Dräiecksinegalitéit)

Grondbegrëffer[änneren | Quelltext änneren]

Eng Suite konvergéiert géint , wa fir all en existéiert, soudatt fir all gëllt, dass . Eng Cauchy-Suite ass eng Suite , sou dass et fir all en gëtt, sou dass fir all gëllt, dass . E metresche Raum, an deem all Cauchy-Suite konvergéiert, nennt ee vollstänneg. Falls et eng Borne gëtt, sou dass fir all gëllt, dass , da seet een dass bornéiert ass. E Sousensembel ass och ëmmer e metreschen Ënnerraum mat der nämmlechter Metrik . Falls all oppene Ball an en net-eidele Schnëtt mat huet, dann ass dicht an . E metresche Raum, an deem all Suite eng konvergent Sous-suite huet, nennt ee kompakt.

Metresch Raim mat extra Struktur[änneren | Quelltext änneren]

Norméiert Vektorraim[änneren | Quelltext änneren]

E Vektorraum iwwert oder mat enger Norm definéiert eng Metrik .

Riemannsch Mannifalten[änneren | Quelltext änneren]

Fir e Riemannsche Mannifalt an eng differenzéierbar Kurv kann een eng Längt definéieren. Wann een d'Distanz tëscht zwee Punkten als den Infimum vun de Längte vun alle Kurven tëscht deene Punkten definéiert, da gëtt zu engem metresche Raum.

Metresch Moossraim[änneren | Quelltext änneren]

Raim, déi eng Metrik an eng Mesure hunn, déi kompatibel matenee sinn.