Ellipsoid

Triaxialt Ellipsoid mat $(a, b, c) = (4, 2, 1)$

En Ellipsoid ass e Kierper deen der dräi- oder méidimensionaler Duerstellung vun enger Ellips entsprécht.

Bekannt Beispiller fir Rotatiounsellipsoide sinn d'Äerd an de Rugbyball.

Definitioun

Rugbyball als gestreckt Rotatiounsellipsoid

En Ellipsoid am dräidimensionale Raum kann als gestreckt oder gestaucht Bild vun enger Kugeluewerfläch (Sphär) erkläert ginn. Beim Gebrauch vu kartesesche Koordinaten an Ausriichtung vun de Koordinatenachsen x, y an z no de Symmetrieachsen vum Ellipsoid heescht seng Equatioun

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1 = 0$

mat positiven reellen Zuelen $a$, $b$ an $c$, de Längten vun den Hallefachsen.

Am n-dimensionale Raum ass en Ellipsoid

$E= \left\{ x= (x_1\ldots x_n)^T\in R^n : x^T Q x = \sum_{1\le i,j\le n\ }q_{ij}x_i x_j = 1 \right\}$

d'Léisungsmenge vun enger quadratescher Equatioun mat positiv definiter reeller (zu enger quadratescher Form gehéierenden) Matrix $Q = (q_{ij})$.

Duerch Haaptachsentransformatioun kann een $Q$ op eng Diagonalmatrix mat positiven Eegewäerter transforméieren. D'Eegevektoren vun dëser Matrix ginn d'Richtung vun den Haaptachsen un, d'Kehrwäerter vun de Wurzelen aus den Eegewäerter sinn d'Längten vun den dozougehéierenden Hallefachsen.

An der Linearer Optiméierung ginn Ellipsoiden an der Ellipsoid-Method gebraucht.

Déi folgend Erklärungen begrenzen sech nees op Ellipsoiden am dräidimensionale Raum. Sinn allen dräi Hallefachsen verschidden, schwätzt een vun triaxialen (oder dräiachsegen) Ellipsoiden. Bei der Rotatioun vun enger Ellips ëm eng vun hiren Achsen entstinn Rotatiounskierper, an dësem Fall Rotatiounsellipsoide. Beispiller fir Rotatiounsellipsoide sinn rotéierend Himmelskierper, wéi eis Äerd (vergl. Äerdellipsoid) resp. Planéiten, Sonnen oder Galaxien. Elliptesch Galaxien kënnen och triaxial sinn.

D'Äerd als Ellipsoid

D'Äerd als gestauchten Rotatiounsellipsoid

Eis Äerd ass nëmmen ongeféier eng Kugel. A Wierklechkeet ass si duerch d'Dréiung ëm sech selwer un de Polen ofgeflaacht an och soss ganz onreegelméisseg geformt. Fir dës Onreegelméissegkeet méi genee ze beschreiwen, gëtt amplaz vun der Kugel oft e Rotatiounsellipsoid gebraucht. Dësen déngt an der Kartographie an an der Geodesie als Bezuchssystem fir d'Konstruktioun vu Vermoossungsnetzer an der direkten Angab geographescher Koordinaten. Duerch den Ellipsoid gëtt d'Äerdfigur als "Fläch konstanter Héicht" ofgestëmmt (kuckt Geoid an Mierespigel).

De Volumen vum Ellipsoid

De Volumen $V$ léisst sech mat

$V = \frac{4}{3} \pi a b c$

aus dem Produkt vun den Hallefachsen berechnen.

Uewerfläch vum Rotatiounsellipsoid

Sief $a \ge b \ge c$ a sief $\varepsilon = \sqrt{1 - \left(\frac{c}{a}\right)^2}$ déi numeresch Exzentrizitéit vun der Ellips, déi sech als Schnëtt mat der $xz$-Fläch $y = 0$ ergëtt. Dann ass fir en ofgeplattenen Ellipsoid mat $a=b>c$ (Rotatiounsachs = z-Achs)

$A = 2 \pi a^2 \left( 1 + \left(\frac{c}{a}\right)^2 \,\frac{\operatorname{artanh} \,\varepsilon}{\varepsilon} \right)$

a fir e verlängerten Ellipsoid mat $a>b=c$ (Rotatiounsachs = x-Achs)

$A = 2 \pi c^2 \left( 1 + \frac{a}{c} \, \frac{\arcsin \,\varepsilon}{\varepsilon} \right).$

D'Uewerfläch vum triaxialen Ellipsoid

D'Uewerfläch vum triaxialen Ellipsoid léisst sech net mat Hëllef vu Funktiounen ausdrécken, déi een als elementar ugesäit, wéi z. B. artanh oder arcsin. D'Flächeberechnung ass dem Adrien-Marie Legendre mat Hëllef vun der elliptescher Integrale gelongen. Sief $a>b>c$. Schreift een

$k=\frac ab \frac{\sqrt{b^2-c^2}}{\sqrt{a^2-c^2}}$ an $\varphi=\arcsin \frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a},$

sou heescht d'Integrale

$E(k,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \sqrt{\frac{1-k^2 x^2}{1-x^2}}\ \mathrm dx$ an $F(k,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-k^2 x^2}}\ \mathrm dx.$

D'Uewerfläch huet mat E an F no Legendre de Wäert

$A=2\pi c^2+\frac{2\pi b}{\sqrt{a^2-c^2}}\left(c^2 F(k,\varphi)+(a^2-c^2) E(k,\varphi)\right).$

Ginn d'Ausdréck fir k an $\varphi$ souwéi d'Substitutiounen

$u=\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}$  an  $v=\frac{\sqrt{b^2-c^2}}{b}$

an d'Equatioun fir A agesat, sou ergëtt sech d'Schreifweis

$A=2\pi c^2+2\pi ab \int_0^1 \frac{1-u^2 v^2 x^2}{\sqrt{1-u^2 x^2} \sqrt{1-v^2 x^2}}\ \mathrm dx.$

Vum Knud Thomsen staamt déi (integralfräi) „Näherungsformel“

$A\approx 4\pi\!\left(\frac{ (a b)^{1,6}+(a c)^{1,6}+(b c)^{1,6} }{3}\right)^{0,625}\,\!.$

Déi maximal Ofwäichung vum exakten Resultat ass manner wéi 1,2%.

Am Grenzfall vun engem vollstänneg plattgedréckten Ellipsoid $\left(c \to 0 \right)$ striewen all dräi notéiert Formelen fir A géint $2\pi ab,$ den duebelte Wäert vun enger Ellipsefläch mat den Hallefachsen $a$ an $b$.

Herleitung der Formelen fir Rotatiounsellipsoiden

Mat den Definitiounen vun der elliptescher Integraler E an F loosse sech déi béid rotatiounssymmetresch Spezialfäll liicht aus der allgemenger triaxialen Formel ofleeden, well E an F ginn zu elementaren Funktiounen.

Ofgeplattend Ellipsoid

$b$ = $a$, also gëtt k = 1, doraus follegt $E(1,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \ \mathrm dx =\sin \varphi = \frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}$ an $F(1,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \frac{1}{1-x^2}\ \mathrm dx = \operatorname{artanh} (\sin \varphi) = \operatorname{artanh} \left(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right).$

Agesat an d'Equatioun vum Legendre ergëtt dat $A = 2\pi c^2+\frac{2\pi a}{\sqrt{a^2-c^2}}\left(c^2 \operatorname{artanh}\left(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right) + (a^2-c^2) \frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right).$

Verlängert Ellipsoid

$b$ = $c$, also gëtt k = 0, doraus follegt $E(0,\varphi)= F(0,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \mathrm dx = \arcsin (\sin \varphi) = \arcsin \left(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right).$

Agesat an d'Equatioun vum Legendre ergëtt dat $A=2\pi c^2+\frac{2\pi c}{\sqrt{a^2-c^2}}\left(c^2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right)+(a^2-c^2) \arcsin \left(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right)\right).$

Alternativ loosse sech d'Uewerflächen och als Mantelfläch vu rotéierenden Ellipsen (Rotatiounsellipsoid) berechnen.

Kuckt och

• Ellips
• Hyperboloid
• Paraboloid
• Homöoid
• Fokaloid
• Referenzellipsoid an der Kartographie

Um Spaweck

Wiktionnaire: Ellipsoid – Definitioun, Synonymer an Iwwersetzungen

• (en) Online-Berechnung vu Volumen an Uewerfläch vun engem Ellipsoid
• (en) Formel fir d'Uewerfläch vun engem Ellipsoid