Homothetie

Dëse Mathematiksartikel ass eréischt just eng Skizz. Wann Dir méi iwwer dëst Thema wësst, sidd Dir häerzlech invitéiert, aus dëse puer Sätz e richtegen Artikel ze schreiwen. Wann Dir Hëllef braucht beim Schreiwen, da luusst bis an d'FAQ eran.

Eng Homothetie ass eng geometresch Transformatioun vum Raum oder Plang, déi eng Vergréisserung oder Verklengerung duerstellt. Si gëtt charakteriséiert duerch en Zentrum $\Omega$$\Omega$ an e Faktor $k\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$$k\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$.

$h_{(\Omega ,k)}:{\mathcal {P}}\rightarrow {\mathcal {P}}$$h_{(\Omega ,k)}:{\mathcal {P}}\rightarrow {\mathcal {P}}$

        $M\mapsto h_{(\Omega ,k)}(M)=M',{\overrightarrow {\Omega M'}}=k\cdot {\overrightarrow {\Omega M}}$$M\mapsto h_{(\Omega ,k)}(M)=M',{\overrightarrow {\Omega M'}}=k\cdot {\overrightarrow {\Omega M}}$

Analytesch Duerstellung (an 2 Dimensiounen)

$M(x,y),\quad \Omega (\alpha ,\beta ),\quad k\in \mathbb {R} \setminus \{0\},\quad h_{(\Omega ,k)}(M)=M'(x',y')$$M(x,y),\quad \Omega (\alpha ,\beta ),\quad k\in \mathbb {R} \setminus \{0\},\quad h_{(\Omega ,k)}(M)=M'(x',y')$

${\overrightarrow {\Omega M'}}=k\cdot {\overrightarrow {\Omega M}}\Leftrightarrow \left|{\begin{matrix}x'-\alpha =k(x-\alpha )\\y'-\beta =k(y-\beta )\end{matrix}}\right.\Leftrightarrow \left|{\begin{matrix}x'=kx+(1-k)\alpha \\y'=ky+(1-k)\beta \end{matrix}}\right.$${\overrightarrow {\Omega M'}}=k\cdot {\overrightarrow {\Omega M}}\Leftrightarrow \left|{\begin{matrix}x'-\alpha =k(x-\alpha )\\y'-\beta =k(y-\beta )\end{matrix}}\right.\Leftrightarrow \left|{\begin{matrix}x'=kx+(1-k)\alpha \\y'=ky+(1-k)\beta \end{matrix}}\right.$

Remarken:

• fir $k=1:\quad h_{(\Omega ,1)}=id_{\mathcal {P}}$$k=1:\quad h_{(\Omega ,1)}=id_{\mathcal {P}}$
• fir $k=-1:\quad h_{(\Omega ,-1)}=s_{\Omega }$$k=-1:\quad h_{(\Omega ,-1)}=s_{\Omega }$, Zentralsymmetrie mat $\Omega$$\Omega$ als Zentrum.