Lemma vum Euklid

Vu Wikipedia
Wiesselen op: Navigatioun, sichen

De Lemma vum Euklid ass e Resultat aus der Zuelentheorie. E seet, datt all natierlech Zuel vun enger Primzuel gedeelt gëtt.

Beweis[änneren | Quelltext änneren]

De Beweis gëtt mam Prinzip gefouert, datt en Ensembel vun natierlechen Zuelen, deen net eidel ass, ëmmer e klengstent Element enthält. Elo ass eng natierlech Zuel entweder eng Primzuel (d. h. mer si fäerdeg mam Beweis, well jo säin eegenen Deeler ass), oder se ass zesummegesat, d. h. et gtt eng natierlech Zuel , déi deelt. Faasse mer alleguerten déi natierlech Zuelen zesummen, déi dës lescht Bedingung erfëllen, da kréie mer den net eidelen Ensembel

.

Dësen huet also e kléngstent Element, d. h. et gëtt eng natierlech Zuel , déi méi kleng wéi all déi aner Elementer vun ass. Da muss eng Primzuel sinn, well wa zesummegesat wier, da géif jo nees eng natierlech Zuel existéieren, déi deelt, an opgrond vun der Transitivitéit vun der Deelbarkeet (cf. Deeler) misst och deelen, also en Element vun sinn. Dat steet awer am Widdersproch dozou, dat dat klengst Element vun ass. Dat beweist de Lemma.