Lie-Grupp

Eng Lie-Grupp ass eng mathematesch Struktur. Et ass eng Grupp, déi och en differenzéierbare Mannifalt ass. Sou ass eng Lie-Grupp en algebreschen an e geometreschen Objet. Lie-Gruppe gi virun allem benotzt fir kontinuéierlech Transformatiounen a Symmetrien ze beschreiwen. E bekannt Beispill ass dat vun de Rotatiounen am dräidimensionale Raum, déi duerch déi speziell orthogonal Grupp $\mathrm {SO} (3)$ representéiert ginn.

De Begrëff geet op den norwegesche Mathematiker Sophus Lie zeréck.

Definitioun

Eng Lie-Grupp ass eng Grupp $G$, déi och e glate Mannifalt ass, soudatt d'Gruppenoperatiounen, also d'Multiplikatioun $\mu :G\times G\to G,(x,y)\mapsto xy$, an d'Inversioun $\iota :G\to G,x\mapsto x^{-1}$, glat Funktioune sinn.

Beispiller

D'Rotatiounen am Plang, duergestallt duerch d'Rotatiounsmatricen, sinn eng Ënnergrupp vun der allgemenger linearer Grupp $\mathrm {GL} (2,\mathbb {R} )$ a se bilden déi speziell orthogonal Grupp $\mathrm {SO} (2)$. Et ass eng eendimensional, kompakt, connectéiert Lie-Grupp a s'ass diffeomorph par Rapport zu engem Krees. Mat engem Rotatiounswénkel $\varphi$ als Parameter kann een déi Grupp follgendermoosse parametriséieren:

$\operatorname {SO} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\,\varphi \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \right\}.$

Um Spaweck

Commons: Lie-Grupp – Biller, Videoen oder Audiodateien